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    抛物线的定点问题是考查学生创新意识、探究能力的一类数学问题,笔者通过具体定点问题的探索,浅谈了这种问题的实质以及解决方案。 关键词抛物线;定点;探索 近年来各省的高考试卷中不断涌现出各式各样的探究性问题,考查了学生的创新意识,其中以抛物线为载体,考查直线过定点的问题频繁出现,本文作者结合自己的教学实践,详细叙述如何处理抛物线中的“定点”问题。 一、先探究定点,再进行证明 从特殊到一般是数学学习的重思想。在处理抛物线中的“定点”问题,就可以先从特殊情况出发,构造某两条特殊直线,通过这两条特殊直线求出它们的交点,如果动直线经过定点,一定经过所求出的特殊直线的交点,并且只能是这个点,然后进行证明这个点与动直线中的参量没有关系,恒在直线上,所以动直线永远经过某定点。 例过抛物线x=py的顶点O(O为坐标原点)做直线OP,PQ且与抛物线交于P、Q使得OP⊥OQ,求证直线PQ过定点,并求出此定点。 解析当OPy=x时,由x=pyy=x得xpx=,此时P(p,p), 把点M(,p)的坐标代入上述方程中成立。 所以直线PQ过定点M(,p)。 二、先寻找本质,再探究定点 研究问题寻找它的本质,抛物线问题中的动直线经过某定点的问题的本质是什么呢?为什么会经过定点呢?定点是什么呢?在研究平面几何中的直线方程的时候,有一个直线的点斜式方程即经过点M(x,y),斜率为k的直线方程是yy=k(xx),反之,当直线方程是yy=k(xy)并且k在实数内变化时直线经过定点(x,y)。推广到一般情形,直线λ(xByC)λ(xByC)=(B≠B),当λλ在实数范围内变化时,该直线经过直线x+ByC和xByC的交点(x,y)。因此,我们预设动直线方程,然后通过变形,数据处理,整理出满足条件的形式,再给出结论。 .直接设动直线的方程,进而探究定点 例设M(x,y)是抛物线x=py上的定点,过点M作直线MP、MQ,且与抛物线交于P、Q,使得MP⊥MQ,求证直线PQ过定点,并求出此定点。 解析设PQy=kxb,P(x,y),Q(x,y), 由x=pyy=kxb得xpkxpb=, 即Pxxpypy=, 同理Qxxpypy=, 因为P,Q的交点M(x,p), 所以xxppy=xxppy= 说明x=xy=y,x=xy=y是方程xxpyp=的解。 因为两点确定一条直线,所以PQxxpyp=, PQxx(x)(pyp)=, 所以直线PQ过定点(,p)。 总之,抛物线中的“定点”问题的题型虽然千变万化,但是其常用的解题策略还是有法可依的,只我们理解好抛物线中的“定点”问题的实质,把握好抛物线中的“定点”问题所遵循的规律,这类问题都会迎刃而解的。 注本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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